Как найти большую диагональ параллелограмма

Содержание:

1. Диагонали параллелограмма
2. Свойства диагоналей параллелограмма
3. Подобие треугольников
4. Формула для нахождения большей диагонали
5. Пример решения задачи

Диагонали параллелограмма

Диагонали четырехугольника соединяют противоположные его вершины, деля фигуру на пару треугольников. Чтобы найти большую диагональ параллелограмма, нужно произвести ряд вычислений согласно начальным данным задачи.

Свойства диагоналей параллелограмма

Инструкция 1 Диагонали параллелограмма обладают рядом свойств, знание которых помогает в решении геометрических задач. В точке пересечения они делятся пополам, являясь биссектрисами пары противоположных углов фигуры, меньшая диагональ – для тупых углов, а большая – острых. Соответственно, при рассмотрении пары треугольников, которые получаются из двух смежных сторон фигуры и одной из диагоналей, половина другой диагонали – это еще и медиана.

Подобие треугольников

Инструкция 2 Треугольники, образованные половинами диагоналей и двумя параллельными сторонами параллелограмма, подобны. Кроме того, любая диагональ делит фигуру на два одинаковых треугольника, графически симметричных относительно совместного основания.

Формула для нахождения большей диагонали

Инструкция 3 Чтобы найти большую диагональ параллелограмма, можно воспользоваться общеизвестной формулой соотношения суммы квадратов двух диагоналей и удвоенной суммы квадратов длин сторон. Она является прямым следствием из свойств диагоналей: d1² + d2² = 2•(a² + b²).

Пример решения задачи

Инструкция 4 Пусть d2 – большая диагональ, тогда формула преобразуется к виду: d2 = √(2•(a² + b²) – d1²).
Инструкция 5 Примените эти знания на практике. Пусть задан параллелограмм со сторонами a=3 и b=8. Найдите большую диагональ, если известно, что она на 3 см больше меньшей.
Инструкция 6 Решение. Запишите формулу в общем виде, введя известные из исходных данных величины a и b: d1² + d2² = 2•(9 + 64) = 146.
Инструкция 7 Выразите длину меньшей диагонали d1 через длину большей согласно условию задачи: d1 = d2 - 3.
Инструкция 8 Подставьте это выражение в первое уравнение: (d2 - 3)² + d2² = 146
Инструкция 9 Возведите значение в скобке в квадрат: d2² – 6•d2 + 9 + d2² = 146
Инструкция 10 Решите полученное квадратное уравнение относительно переменной d2 через дискриминант: D = 36 + 1080 = 1116.d2 = (6 ± √1116)/4 ≈ [9,85; -6,85]. Очевидно, что длина диагонали – положительная величина, следовательно, она равна 9,85 см.

Таким образом, для нахождения большей диагонали параллелограмма необходимо использовать ряд свойств диагоналей и применить соответствующую формулу. В данной статье представлен пример решения задачи на нахождение большей диагонали параллелограмма с использованием данных о сторонах фигуры.