Как вычислить диагонали ромба
Содержание:- Вычисление диагоналей ромба
- Формула для вычисления диагоналей
- Свойства ромба
- Производные действия для вычисления диагоналей
- Пример решения задачи
- Решение
- Запишите формулу для диагоналей ромба: d1² + d2² = 4•a².
Вычисление диагоналей ромба
Ромб – стандартная геометрическая фигура, состоящая из четырех вершин, углов, сторон, а также двух диагоналей, которые перпендикулярны друг другу. Исходя из этого свойства, можно вычислить их длины по формуле для четырехугольника.
Формула для вычисления диагоналей
Чтобы вычислить диагонали ромба, достаточно воспользоваться общеизвестной формулой, справедливой для любого четырехугольника. Она состоит в том, что сумма квадратов длин диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на четыре: d1² + d2² = 4•a².
Свойства ромба
Облегчить решение геометрических задач с этой фигурой поможет знание некоторых свойств, присущих ромбу и связанных с длинами его диагоналей:
- Ромб является частным случаем параллелограмма, следовательно, противолежащие стороны у него также попарно параллельны и равны;
- Диагонали точкой пересечения делятся пополам, а угол между ними – прямой;
- Каждая диагональ делит пополам углы, вершины которых соединяет, являясь их биссектрисами и одновременно медианами треугольников, образованных двумя смежными сторонами ромба и другой диагональю.
Производные действия для вычисления диагоналей
Формула для диагоналей является прямым следствием из теоремы Пифагора. Рассмотрите один из треугольников, получившихся в результате деления ромба диагоналями на четыре части. Он – прямоугольный, это вытекает из свойств диагоналей ромба, кроме того, длины катетов равны половинам диагоналей, а гипотенуза – это сторона ромба. Значит, согласно теореме: d1²/4 + d2²/4 = a² → d1² + d2² = 4•a².
Пример решения задачи
В зависимости от начальных данных задачи, могут быть произведены дополнительные промежуточные действия, чтобы определить неизвестную величину. Например, найдите диагонали ромба, если известно, что одна из них превышает длину стороны на 3 см, а другая в полтора раза больше.
Решение
Выразите длины диагоналей через сторону, которая в данном случае неизвестна. Обозначьте ее за x, тогда: d1=x+3; d2=1,5•x.
Запишите формулу для диагоналей ромба: d1² + d2² = 4•a².
Подставьте полученные выражения и составьте уравнение с одной переменной: (x + 3)² + 9/4•x² = 4•x².
Приведите его к квадратному и решите: x² – 8•x – 12 = 0. D = 64 + 48 = 110. x1 = (8+√110)/2 ≈ 9,2; x2 = (8-√110)/2 ≈ -1,2.
Так как длина стороны не может быть отрицательной, выбираем положительное значение x1. Тогда сторона ромба равна 9,2 см. Тогда d1 = 11,2 см; d2 = 13,8 см.