Эврика!

Регистрация

Как вычислить определитель, разложив его по элементам строки

Определитель в матричной алгебре – понятие, необходимое для осуществления различных действий. Это число, которое равно алгебраической сумме произведений определенных элементов квадратной матрицы в зависимости от ее размерности. Вычислить определитель можно, разложив его по элементам строки.Как вычислить определитель, разложив его по элементам строки

Вычислить определитель матрицы можно двумя способами: по методу треугольника или разложив его по элементам строки или столбца. Во втором случае это число получается путем суммирования произведений из трех составляющих: значений самих элементов, (-1)^k и миноров матрицы порядка n-1:∆ = Σ a_ij•(-1)^k•M_j, где k=i+j – сумма номеров элемента, n – размерность матрицы.

Определитель можно найти только для квадратной матрицы любого порядка. Например, если он равен 1, то определителем будет единственный элемент. Для матрицы второго порядка начинает действовать приведенная выше формула. Разложите определитель по элементам первой строки:∆_2 = a11•(-1)²•M11 + a12•(-1)³•M12.

Минор матрицы – это тоже матрица, порядок которой на 1 меньше. Она получается из исходной с помощью алгоритма вычеркивания соответствующей строки и столбца. В данном случае миноры будут состоять из одного элемента, поскольку матрица имеет вторую размерность. Уберите первую строку и первый столбец, и вы получите M11 = a22. Вычеркните первую строку и второй столбец, и найдете M12 = a21. Тогда формула примет следующий вид:∆_2 = a11•a22 – a12•a21.Как вычислить определитель, разложив его по элементам строки

Определитель второго порядка – один из самых распространенных в линейной алгебре, поэтому эта формула используется очень часто и не требует постоянного выведения. Таким же образом можно вычислить определитель третьего порядка, в этом случае выражение будет более громоздким и состоять из трех слагаемых: элементов первой строки и их миноров:∆_3 = a11•(-1)²•M11 + a12•(-1)³•M12 + a13•(-1)^4•M13.Как вычислить определитель, разложив его по элементам строки

Очевидно, что миноры такой матрицы будут иметь второй порядок, следовательно, их можно рассчитать как определитель второго порядка по правилу, приведенному ранее. Последовательно вычеркивается: строка1+столбец1, строка1+столбец2 и строка1+столбец3:∆_3 = a11•(a22•a33 – a23•a32) – a12•(a21•a33 – a23•a31) + a13•(a21•a32 – a22•a31) == a11•a22•a33 +a12•a23•a31 + a13•a21•a32 – a11•a23•a32 – a12•a21•a33 – a13•a22•a31.

© CompleteRepair.Ru