При построении графиков двух заданных функций в области их пересечения образуется замкнутая фигура, ограниченная этими кривыми и двумя прямыми линиями х=а и х=b, где а и b – концы рассматриваемого интервала. Эту фигуру визуально отображают штрихом. Ее площадь можно вычислить, проинтегрировав разность функций.
Функция, расположенная выше на графике, является большей величиной, следовательно, в формуле ее выражение будет стоять первым: S = ∫f1 – ∫f2, где f1 > f2 на промежутке [а, b]. Впрочем, приняв во внимание, что количественная характеристика любого геометрического объекта является величиной положительной, можно вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, по модулю:
S = |∫f1 – ∫f2|.
Такой вариант тем более удобен, если нет возможности или времени на построение графика. При вычислении определенного интеграла пользуются правилом Ньютона-Лейбница, которое предполагает подстановку в конечный результат предельных значений интервала. Тогда площадь фигуры равна разности двух значений первообразной, найденной на этапе интегрирования, из большего F(b) и меньшего F(а).
Иногда замкнутая фигура на заданном интервале образуется путем полного пересечения графиков функций, т.е. концы интервала являются точками, принадлежащими обеим кривым. Например: найдите точки пересечения линий у = х/2 + 5 и у = 3•х – х²/4 + 3 и вычислите площадь.
Решение.
Чтобы найти точки пересечения, составьте уравнение:
х/2 + 5 = 3•х – х²/4 + 3 → х² – 10•х + 8 = 0
D = 100 - 64 = 36 → х1,2 = (10 ± 6)/2.
Итак, вы нашли концы интервала интегрирования [2; 8]:
S = |∫ (3•х – х²/4 + 3 – х/2 - 5)dх| = |(5•х²/4 – х³/12 - 2•х)| ≈ 59.
Рассмотрите другой пример: у1 = √(4•х + 5); у2 = х и дано уравнение прямой х = 3.
В этой задаче дан только один конец интервала х=3. Это значит, что второе значение требуется найти из графика. Постройте линии, заданные функциями у1 и у2. Очевидно, что значение х=3 является верхним ограничением, следовательно, нужно определить нижний предел. Для этого приравняйте выражения:
√(4•х + 5) = х ↑²
4•х + 5 = х² → х² – 4•х – 5 = 0
Найдите корни уравнения:
D = 16 + 20 = 36 → х1 = 5; х2 = -1.
Посмотрите на график, нижним значением интервала является -1. Поскольку у1 расположено выше у2, то:
S = ∫(√(4•х + 5) - х)dх на промежутке [-1; 3].
S = (1/3•√((4•х + 5)³) – х²/2) = 19.
