Как вычислить предел последовательности
- Вычисление пределов последовательностей
- Метод подстановки значения аргумента
- Устранение неопределенности
- Использование спряженных выражений
- Использование правила Лопиталя
- Использование замечательных пределов
Вычисление пределов последовательностей
Вычисление пределов последовательностей является важной задачей в математике и может быть выполнено различными способами. Для этого необходимо иметь представление о числовых последовательностях и функциях, умение брать производные, а также преобразовывать и сокращать выражения. Кроме того, полезно использовать калькулятор для более точных вычислений.
Метод подстановки значения аргумента
Один из способов вычисления предела - это подстановка предельного значения аргумента в выражение последовательности. Если после подстановки получается определенное число, то это и есть искомый предел. Например, для последовательности с общим членом (3•x?-2)/(2•x?+7), если x > 3, мы можем подставить x = 3 и получить (3•3?-2)/(2•3?+7)=(27-2)/(18+7)=1.
Устранение неопределенности
Если при подстановке значения аргумента возникает неопределенность, необходимо выбрать способ, с помощью которого ее можно устранить. Это может быть достигнуто путем преобразования выражений, в которых записывается последовательность, и сокращения выражений. Например, для последовательности (x+vx)/(x-vx), когда x > 0, при прямой подстановке получается неопределенность 0/0. Чтобы избавиться от нее, можно вынести из числителя и знаменателя общий множитель vx и получить (vx•(vx+1))/(vx•(vx-1))= (vx+1)/(vx-1). Теперь можно подставить x = 1/(-1)=-1 и получить результат.
Использование спряженных выражений
Когда неопределенность не может быть сокращена, особенно если последовательность содержит иррациональные выражения, можно умножить числитель и знаменатель на спряженное выражение, чтобы убрать иррациональность из знаменателя. Например, для последовательности x/(v(x+1)-1), где значение переменной x > 0, можно умножить числитель и знаменатель на спряженное выражение (v(x+1)+1). Получим (x• (v(x+1)+1))/( (v(x+1)-1)•(v(x+1)+1))=(x• (v(x+1)+1))/(x+1-1)= (x• (v(x+1)+1))/x=v(x+1)+1. Подставив x = 0+1=1, получим ответ 2.
Использование правила Лопиталя
При неопределенностях типа 0/0 или ?/? можно использовать правило Лопиталя. Для этого необходимо представить числитель и знаменатель последовательности в виде функций и взять их производные. Предел отношения производных будет равен пределу отношения самих функций. Например, для последовательности ln(x)/vx, при x > ?, прямая подстановка дает неопределенность ?/?. Возьмем производные из числителя и знаменателя и получим (1/x)/(1/2•vx)=2/vx=0.
Использование замечательных пределов
Для раскрытия неопределенностей можно использовать первый замечательный предел sin(x)/x=1 при x>0 или второй замечательный предел (1+1/x)^x=exp при x>?. Например, для последовательности sin(5•x)/(3•x) при x>0, можно преобразовать выражение sin(5•x)/(3/5•5•x), вынеся множитель из знаменателя, получив 5/3•( sin(5•x)/(5•x)). Используя первый замечательный предел, получим 5/3•1=5/3. Аналогично, для последовательности (1+1/(5•x))^(6•x) при x>?, умножим и поделим показатель степени на 5•x, получим выражение ((1+1/(5•x))^(5•x)) ^(6•x)/(5•x). Применяя правило второго замечательного предела, получим exp^(6•x)/(5•x)=exp.
