Главная Войти О сайте

Как выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена

Как выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена

Содержание:
  1. Метод выделения полного квадрата в алгебре
  2. Применение метода выделения полного квадрата
  3. Применение метода выделения полного квадрата для решения уравнений
  4. Решение уравнения с помощью метода выделения полного квадрата
  5. Дискриминант и его значение
  6. Пример применения метода
  7. Пример: выделить квадрат двучлена в выражении х² – 16•х + 72.
  8. Решение примера
  9. Заключение

Метод выделения полного квадрата в алгебре

Метод выделения полного квадрата двучлена из квадратного трехчлена является основой алгоритма решения уравнений второй степени, а также применяется при упрощении громоздких алгебраических выражений.

Применение метода выделения полного квадрата

Метод выделения полного квадрата применяется как для упрощения выражений, так и при решении квадратного уравнения, которое, по сути, является трехчленом второй степени от одной переменной. В основе метода лежат некоторые формулы сокращенного умножения многочленов, а именно частные случаи Бинома Ньютона – квадрат суммы и квадрат разности: (а ∓ b)² = а² ∓ 2•а•b + b².

Применение метода выделения полного квадрата для решения уравнений

Рассмотрим применение метода для решения квадратного уравнения вида а•х² + b•х + с = 0. Чтобы выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена, разделите обе части уравнения на коэффициент при наибольшей степени, т.е. при х²: а•х² + b•х + с = 0 /а → х² + (b/а)•х + с/а = 0.

Представьте полученное выражение в виде: (х² + 2•(b/2а)•х + (b/2а)²) – (b/2а)² + с/а = 0, где одночлен (b/а)•х преобразован в удвоенное произведение элементов b/2а и х.

Решение уравнения с помощью метода выделения полного квадрата

Сверните первую скобку в квадрат суммы: (х + b/2а)² – ((b/2а)² – с/а) = 0.

Теперь возможны две ситуации нахождения решения: если (b/2а)² = с/а, то уравнение имеет единственный корень, а именно х = -b/2а. Во втором случае, когда (b/2а)² = с/а, решений будет следующим: (х + b/2а)² = ((b/2а)² – с/а) → х = -b/2а + √((b/2а)² – с/а) = (-b + √(b² – 4•а•с))/(2•а).

Двойственность решения вытекает из свойства квадратного корня, результат вычисления которого может быть как положительным, так и отрицательным, в то время как модуль остается неизменным. Таким образом, получается два значения переменной: х1,2 = (-b ± √(b² – 4•а•с))/(2•а).

Дискриминант и его значение

Так, используя метод выделения полного квадрата, мы пришли к понятию дискриминанта. Очевидно, что он может быть либо нулем, либо положительным числом. При отрицательном дискриминанте уравнение не имеет решений.

Пример применения метода

Пример: выделить квадрат двучлена в выражении х² – 16•х + 72.

Решение примера

Перепишите трехчлен в виде х² – 2•8•х + 72, откуда следует, что составляющими полного квадрата двучлена являются 8 и х. Следовательно, для его завершения нужно еще число 8² = 64, которое можно вычесть из третьего члена 72: 72 – 64 = 8. Тогда исходное выражение преобразуется в: х² – 16•х + 72 → (х - 8)² + 8.

Заключение

Метод выделения полного квадрата является важным инструментом при решении квадратных уравнений и упрощении алгебраических выражений. Понимание и применение этого метода позволяет более эффективно решать задачи, связанные с уравнениями второй степени.


CompleteRepair.Ru