Как выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена
Содержание:- Метод выделения полного квадрата в алгебре
- Применение метода выделения полного квадрата
- Применение метода выделения полного квадрата для решения уравнений
- Решение уравнения с помощью метода выделения полного квадрата
- Дискриминант и его значение
- Пример применения метода
- Пример: выделить квадрат двучлена в выражении х² – 16•х + 72.
- Решение примера
- Заключение
Метод выделения полного квадрата в алгебре
Метод выделения полного квадрата двучлена из квадратного трехчлена является основой алгоритма решения уравнений второй степени, а также применяется при упрощении громоздких алгебраических выражений.
Применение метода выделения полного квадрата
Метод выделения полного квадрата применяется как для упрощения выражений, так и при решении квадратного уравнения, которое, по сути, является трехчленом второй степени от одной переменной. В основе метода лежат некоторые формулы сокращенного умножения многочленов, а именно частные случаи Бинома Ньютона – квадрат суммы и квадрат разности: (а ∓ b)² = а² ∓ 2•а•b + b².
Применение метода выделения полного квадрата для решения уравнений
Рассмотрим применение метода для решения квадратного уравнения вида а•х² + b•х + с = 0. Чтобы выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена, разделите обе части уравнения на коэффициент при наибольшей степени, т.е. при х²: а•х² + b•х + с = 0 /а → х² + (b/а)•х + с/а = 0.
Представьте полученное выражение в виде: (х² + 2•(b/2а)•х + (b/2а)²) – (b/2а)² + с/а = 0, где одночлен (b/а)•х преобразован в удвоенное произведение элементов b/2а и х.
Решение уравнения с помощью метода выделения полного квадрата
Сверните первую скобку в квадрат суммы: (х + b/2а)² – ((b/2а)² – с/а) = 0.
Теперь возможны две ситуации нахождения решения: если (b/2а)² = с/а, то уравнение имеет единственный корень, а именно х = -b/2а. Во втором случае, когда (b/2а)² = с/а, решений будет следующим: (х + b/2а)² = ((b/2а)² – с/а) → х = -b/2а + √((b/2а)² – с/а) = (-b + √(b² – 4•а•с))/(2•а).
Двойственность решения вытекает из свойства квадратного корня, результат вычисления которого может быть как положительным, так и отрицательным, в то время как модуль остается неизменным. Таким образом, получается два значения переменной: х1,2 = (-b ± √(b² – 4•а•с))/(2•а).
Дискриминант и его значение
Так, используя метод выделения полного квадрата, мы пришли к понятию дискриминанта. Очевидно, что он может быть либо нулем, либо положительным числом. При отрицательном дискриминанте уравнение не имеет решений.
Пример применения метода
Пример: выделить квадрат двучлена в выражении х² – 16•х + 72.
Решение примера
Перепишите трехчлен в виде х² – 2•8•х + 72, откуда следует, что составляющими полного квадрата двучлена являются 8 и х. Следовательно, для его завершения нужно еще число 8² = 64, которое можно вычесть из третьего члена 72: 72 – 64 = 8. Тогда исходное выражение преобразуется в: х² – 16•х + 72 → (х - 8)² + 8.
Заключение
Метод выделения полного квадрата является важным инструментом при решении квадратных уравнений и упрощении алгебраических выражений. Понимание и применение этого метода позволяет более эффективно решать задачи, связанные с уравнениями второй степени.