Как выразить одну переменную через другую
- Упрощение системы уравнений с помощью выражения переменных
- Пример I
- Рассмотрим систему уравнений: │x–2y=1, │x²+xy–y²=11.
- Пример II
- Рассмотрим следующую систему уравнений: │x²–y²=5, │xy=6.
- Таким образом, мы получили систему уравнений: │x²–(6/x)²=5, │y=6/x.
- Пример III
- Использование приема в квадратных уравнениях
Упрощение системы уравнений с помощью выражения переменных
При решении системы двух уравнений с двумя переменными становится необходимым упростить исходную систему для более удобного решения. Одним из распространенных приемов является выражение одной переменной через другую. В этой статье мы рассмотрим несколько примеров применения этого приема.
Пример I
Рассмотрим систему уравнений: │x–2y=1, │x²+xy–y²=11.
Для начала преобразуем первое уравнение, выразив x через y: x=1+2y.
Затем подставим это выражение во второе уравнение: (1+2y)²+(1+2y)y–y²=11.
Таким образом, мы получили систему уравнений:
│(1+2y)²+(1+2y)y–y²=11,
│x=1+2y.
Эта система равносильна исходной и позволяет выразить переменную x через y.
Пример II
Рассмотрим следующую систему уравнений: │x²–y²=5, │xy=6.
Выразим y через x из второго уравнения: y=6/x.
Подставим это выражение в первое уравнение: x²–(6/x)²=5.
Таким образом, мы получили систему уравнений: │x²–(6/x)²=5, │y=6/x.
Эта система равносильна исходной и позволяет выразить переменную y через x.
Пример III
Теперь рассмотрим систему уравнений:
│2/(y+z)+9/(2y+z)=2;
│4/(y+z)=12/(2y+z) –1.
Введем новые переменные m и n, такие что 1/(y+z)=m и 1/(2y+z)=n. Тогда система примет вид:
│2/m+9/n=2,
│4/m=12/n–1.
Мы выразили переменные y и z в исходной системе уравнений через новые переменные m и n.
Использование приема в квадратных уравнениях
Важно отметить, что прием выражения переменных также применим при решении некоторых квадратных уравнений. Например, в уравнении (x²+1)/x+x/(x²+1)=–2,5 мы можем выразить переменную x через новую переменную y. Пусть y=(x²+1)/x, тогда исходное уравнение примет вид: y+1/y=–2,5.
Таким образом, мы можем выразить переменную x в данном уравнении через y.
В заключение, прием выражения переменных является полезным инструментом при решении систем уравнений, а также некоторых квадратных уравнений. Он позволяет упростить систему и получить более удобную форму для решения.
