Эврика!

Регистрация

Как искать производную

Дифференцирование функций, то есть нахождение их производных — основа основ математического анализа. Именно с открытия производных, собственно, и началось развитие этой отрасли математики. В физике, а также и в других дисциплинах, имеющих дело с процессами, дифференцирование играет важнейшую роль.Как искать производную

В самом простом определении, производной от функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения этой функции к приращению ее аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю. В определенном смысле, производная обозначает скорость изменения функции в данной точке.
Приращения в математике обозначаются буквой ∆. Приращение функции ∆y = f(x0 + ∆x) - f(x0). Тогда производная будет равна f′(x0) = lim(∆y/∆x), ∆x → 0 = ∂y/∂x. Знак ∂ обозначает бесконечно малое приращение, или дифференциал.

Функция g(x), для которой в любой точке x0 ее области определения g(x0) = f′(x0) называется производной функцией, или просто производной, и обозначается f′(x).

Чтобы вычислить заданной функции, можно, исходя из ее определения, сосчитать предел отношения (∆y/∆x). При этом лучше всего преобразовать это выражение так, чтобы ∆x можно было в результате просто опустить.
Например, предположим, что вам нужно найти производную от функции f(x) = x^2. ∆y = (x + ∆x)^2 - x^2 = 2x∆x + ∆x^2. Это значит, что предел отношения ∆y/∆x равен пределу выражения 2x + ∆x. Очевидно, что если ∆x стремится к нулю, то это выражение стремится к 2x. Итак, (x^2)′ = 2x.

Непосредственным вычислением находят базовые, т.н. табличные производные. При решении задач на нахождение производных нужно всегда стараться свести заданную производную к табличным.

Производная любой константы всегда равна нулю: (C)′ = 0.

Для любого p > 0 производная от функции x^p равна p*x^(p-1). Если p < 0, то (x^p)′ = -1/(p*x^(p+1)). Например, (x^4)′ = 4x^3, а (1/x)′ = -1/(x^2).

Если a > 0 и a ≠ 1, то (a^x)′ = (a^x)* ln(a). Из этого, в частности, следует, что (e^x)′ = e^x.
Производная логарифма x по основанию a равна 1/(x*ln(a)). Таким образом, (ln(x))′ = 1/x.

Производные тригонометрических функций связаны между собой простым соотношением:
(sin(x))′ = cos(x); (cos(x))′ = -sin(x).

Производная суммы функций равна сумме производных: (f(x) + g(x))′ = f′(x) + g′(x).

Если u(x) и v(x) — функции, у которых есть производные, то (u*v)′ = u′*v + u*v′. Например, (x*sin(x))′ = x′*sin(x) + x* (sin(x))′ = sin(x) + x*cos(x).
Производная от частного u/v равна (u′*v - u*v′)/(v^2). Например, если f(x) = sin(x)/x, то f′(x) = (sin(x) - x*cos(x))/(x^2).
Из этого, в частности, следует, что если k — константа, то (k*f(x))′ = k*f′(x).

Если дана функция, которую можно представить в виде f(g(x)), то f(u) называется внешней функцией, а u = g(x) — внутренней. Тогда f(g(x))′ = f′(g(x))*g′ (x).
Например, если дана функция f(x) = sin(x)^2, то f′(x) = 2*sin(x)*cos(x). Здесь квадрат — внешняя функция, а синус — внутренняя. С другой стороны, sin(x^2)′ = cos(x^2)*2x. В этом примере синус — внешняя функция, а квадрат — внутренняя.

Тем же путем, что и производную, можно вычислить производную от производной. Такая функция будет называться второй производной от f(x) и обозначаться f″(x). Например, (x^3)″ = (3x^2)′ = 6x.
Могут существовать и производные более высоких порядков — третья, четвертая и т.д.

© CompleteRepair.Ru