Как найти фокус на параболе

Содержание:

1. Геометрическое определение параболы
2. Вычисление координат фокуса
3. Парабола, заданная геометрически
4. Уравнение параболы
5. Алгебраическое уравнение параболы
6. Парабола, заданная квадратным трехчленом
7. Эквивалентность парабол
8. Вычисление координат фокуса

Геометрическое определение параболы

В алгебре парабола — прежде всего график квадратного трехчлена. Однако существует и геометрическое определение параболы, как совокупности всех точек, расстояние которых от некоторой данной точки (фокуса параболы) равно расстоянию до данной прямой (директрисы параболы).

Вычисление координат фокуса

Если парабола задана уравнением, то нужно уметь вычислить координаты ее фокуса. Для этого можно использовать геометрический подход.

Парабола, заданная геометрически

Идя от обратного, предположим, что парабола задана геометрически, то есть известны ее фокус и директриса. Для простоты расчетов установим систему координат так, чтобы директриса была параллельна оси ординат, фокус лежал на оси абсцисс, а сама ось ординат проходила точно посередине между фокусом и директрисой. Тогда вершина параболы будет совпадать с началом координат. Иными словами, если расстояние между фокусом и директрисой обозначить p, то координаты фокуса будут равны (p/2, 0), а уравнение директрисы — x = -p/2.

Уравнение параболы

Расстояние от любой точки (x, y) до точки фокуса будет равно, по формуле расстояния между точками, √(x - p/2)^2 + y^2). Расстояние от этой же точки до директрисы, соответственно, будет равняться x + p/2. Приравнивая друг другу эти два расстояния, получаем уравнение: √(x - p/2)^2 + y^2) = x + p/2. Возводя обе части уравнения в квадрат и раскрывая скобки, получаем: x^2 - px + (p^2)/4 + y^2 = x^2 + px + (p^2)/4. Упрощая выражение, приходим к окончательной формулировке уравнения параболы: y^2 = 2px.

Алгебраическое уравнение параболы

Если уравнение параболы можно привести к виду y^2 = kx, то координаты ее фокуса будут равны (k/4, 0). Поменяв переменные местами, приходим к алгебраическому уравнению параболы y = (1/k)*x^2. Координаты фокуса этой параболы равны (0, k/4).

Парабола, заданная квадратным трехчленом

Парабола, служащая графиком квадратного трехчлена, обычно задается уравнением y = Ax^2 + Bx + C, где A, B и C — константы. Ось такой параболы параллельна оси ординат. Производная квадратичной функции, заданной трехчленом Ax^2 + Bx + C, равна 2Ax + B. Она обращается в ноль при x = -B/2A. Таким образом, координаты вершины параболы равны (-B/2A, -B^2/(4A) + C).

Эквивалентность парабол

Такая парабола полностью эквивалентна параболе, заданной уравнением y = Ax^2, сдвинутой путем параллельного переноса на -B/2A по оси абсцисс и на -B^2/(4A) + C по оси ординат. Это легко проверить заменой координат. Следовательно, если вершина параболы, заданной квадратичной функцией, находится в точке (x, y), то фокус этой параболы находится в точке (x, y + 1/(4A).

Вычисление координат фокуса

Подставляя в эту формулу вычисленные на предыдущем шаге значения координат вершины параболы и упрощая выражения, окончательно получаем:
x = -B/2A,
y = - (B^2 - 1)/4A + C.