Главная Войти О сайте

Как найти координаты пересечения высот в треугольнике

Линия, проведенная из вершины треугольника перпендикулярно к противоположной стороне, называется его высотой. Зная координаты вершин треугольника, можно найти его ортоцентр — точку пересечения высот.Как найти координаты пересечения высот в треугольнике

Рассмотрите треугольник с вершинами A, B, C, координаты которых, соответственно (xa, ya), (xb, yb), (xc, yc). Проведите высоты из вершин треугольника и обозначьте точку пересечения высот как точку О с координатами (x, y), которые и необходимо найти.

Составьте уравнение сторон треугольника. Сторона AB выражается уравнением (x−xa)/(xb−xa)=(y−ya)/(yb−ya). Приведите уравнение к виду y=k×x+b: x×yb−x×ya−xa×yb+xa×ya=y×xb−y×xa−ya×xb+ya×xa, что равносильно y=((yb−ya)/(xb−xa))×x+xa×(ya−yb)/(xb−xa)+ya. Обозначьте угловой коэффициент k1=(yb−ya)/(xb−xa). Аналогичным образом найдите уравнение любой другой стороны треугольника. Сторона AC задается формулой (x−xc)/(xa−xc)=(y−yc)/(ya−yc), y=((ya−yc)/(xa−xc))×x+xc×(ya−yc)/(xc−xa)+ya. Угловой коэффициент k2=(yc−yb)/(xc−xb).

Запишите уранение высот треугольника, проведенных из вершин B и C. Так как высота, выходящая из вершины B, будет перпендикулярна стороне AС, то ее уравнение будет иметь вид y−ya=(-1/k2)×(x−xa). А высота, проходящая перпендикулярно стороне AB и выходящая из точки C, будет выражаться в виде y−yc=(-1/k1)×(x−xc).

Найдите точку пересечения двух высот треугольника, решив систему из двух уравнений с двумя неизвестными: y−ya=(-1/k2)×(x−xa) и y−yb=(-1/k1)×(x−xb). Выразите переменную y из обоих уравнений, приравняйте эти выражения и решите уравнение относительно x. А затем подставьте полученное значение x в одно из уравнений и найдите y.

Рассмотрите для наилучшего понимания вопроса пример. Пусть дан треугольник с вершинами A (-3, 3), B (5, -1) и C (5, 5). Составьте уравнение сторон треугольника. Сторона AB выражается по формуле (x+3)/(5+3)=(y−3)/(-1−3) или y=(-1/2)×x+3/2, то есть k1=-1/2. Сторона AC задается уравнением (x+3)/(5+3)=(y−3)/(5−3), то есть y=(1/4)×x+15/4. Угловой коэффициент k2=1/4. Уравнение высоты, выходящей из вершины C: y−5=2×(x−5) или y=2×x−5, а высоты, выходящей из вершины B: y−5=-4×(x+1), что есть y=-4×x+19. Решите систему из этих двух уравнений. Получается, что ортоцентр имеет координаты (4, 3).


CompleteRepair.Ru