Четырехугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна, называют трапецией. В трапеции определяют основания, стороны, диагонали, высоту, среднюю линию. Зная различные элементы трапеции, можно найти ее площадь.
Иногда специальными случаями равнобедренных трапеций считаются прямоугольники и квадраты, но во многих источниках они к трапециям не относятся. Еще одним специальным случаем равнобедренной трапеции считается такая геометрическая фигура с 3 равными сторона. Ее называют трехсторонней трапецией, или триравнобедренной трапецией, или, реже, symtra. Такую трапецию можно рассматривать как отсечение 4 последовательных вершин от правильного многоугольника, имеющего 5 или более сторон.
Трапеция состоит из оснований (параллельные противоположные стороны), боковых сторон (две другие стороны), средней линии (отрезок, соединяющий середины боковых сторон). Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
Чтобы трапеция считалась равнобедренной, должно выполняться как минимум одно из следующих условий. Первое: углы при основе трапеции должны быть равны: ∠ABC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ADC. Второе: диагонали трапеции должны быть равны: AC = BD. Третье: если углы между диагоналями и основаниями одинаковы, трапеция считается равнобедренной: ∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC. Четвертое: сумма противоположных углов равна 180°: ∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°. Пятое: если вокруг трапеции можно описать окружность, она считается равнобедренной.
Равнобедренная трапеция, как и любая другая геометрическая фигура, обладает рядом неизменных свойств. Первое из них: сумма углов, прилегающих к боковой стороне равнобедренной трапеции равна 180°: ∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠ADC + ∠BCD = 180°. Второе: если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то ее боковая сторона равна средней линии трапеции: AB = CD = m. Третье: вокруг равнобедренной трапеции всегда можно описать окружность. Четвертое: если диагонали взаимно перпендикулярны, то высота трапеции равна полусумме оснований (средней линии): h=m. Пятое: если диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты: SABCD = h2 . Шестое: если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то квадрат высоты равен произведению основ трапеции: h2 = BC • AD. Седьмое: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенному произведению основ трапеции: AC2 + BD2 = AB2 + CD2 + 2BC • AD. Восьмое: прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции: HF ┴ BC ┴ AD. Девятое: высота ((CP), опущенная из вершины (C) на большее основание (AD), делит его на большой отрезок (AP), который равен полусумме оснований и меньшый (PD) - равен полуразности оснований: AP=BC+AD/2, PD=AD-BC/2.
Самая распространенная формула для вычисления площади трапеции - S = (a+b)h/2. Для случая равнобедренной трапеции она явным образом не поменяется. Можно лишь отметить, что у равнобедренной трапеции углы при любом из оснований будут равны (DAB = CDA = x). Так как ее боковые стороны тоже равны (AB = CD = с), то и высоту h можно посчитать по формуле h = с*sin(x).
Тогда S = (a+b)*с*sin(x)/2.
Аналогично, площадь трапеции можно записать через среднюю сторону трапеции: S = mh.
Рассмотрим частный случай равнобедренной трапеции, когда ее диагонали перпендикулярны. В этом случае, по свойству трапеции, ее высота равна полусумме оснований.
Тогда площадь трапеции можно вычислить по формуле: S = (a+b)^2/4.
Рассмотрим также еще одну формулу для определения площади трапеции: S = ((a+b)/2)*sqrt(c^2 - ((b-a)^2+c^2-d^2)/2(b-a))^2), где c и d - боковые стороны трапеции. Тогда в случае равнобедренной трапеции, когда c = d, формула принимает вид: S = ((a+b)/2)*sqrt(c^2-((b-a)^2/2(b-a))^2).
Найдите площадь трапеции по формуле S=0,5×(a+b)×h, если известны a и b — длины оснований трапеции, то есть параллельные стороны четырехугольника, и h — высота трапеции (наименьшее расстояние между основаниями). Например, пусть дана трапеция с основаниями a=3 см, b=4 см и высотой h=7 см. Тогда ее площадь будет равна S=0,5×(3+4)×7=24,5 см².
Воспользуйтесь следующей формулой для вычисления площади трапеции: S=0,5×AC×BD×sin(β), где AC и BD — диагонали трапеции, а β — угол между этими диагоналями. Например, задана трапеция с диагоналями AC=4 см и BD=6 см и углом β=52°, тогда sin(52°)≈0,79. Подставьте значения в формулу S=0,5×4×6×0,79≈9,5 см².
Посчитайте площадь трапеции, когда известны ее m — средняя линия (отрезок, соединяющий середины сторон трапеции) и h — высота. В этом случае площадь будет равна S=m×h. К примеру, пусть у трапеции средняя линия m=10 см, а высота h=4 см. В этом случае получается, что площадь заданной трапеции равна S=10×4=40 см².
Вычислите площадь трапеции, в случае когда даны длины ее боковых сторон и оснований по формуле: S=0,5×(a+b)×√(c²−(((b−a)²+c²−d²)÷(2×(b−a)))²), где a и b — основания трапеции, а c и d — ее боковые стороны. Например, пусть дана трапеция с основаниями 40 см и 14 см и боковыми сторонами 17 см и 25 см. По вышеуказанной формуле S=0,5×(40+14)×√(17²−(((14−40)²+17²−25²)÷(2×(14−40)))²)≈423,7 см².
Рассчитайте площадь равнобедренной (равнобокой) трапеции, то есть трапеции у которой боковые стороны равны, если в нее вписана окружность по формуле: S=(4×r²)÷sin(α), где r — радиус вписанной окружности, α — угол при основании трапеции. В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Например, пусть в трапецию вписана окружность радиусом r=3 см, а угол при основании α=30°, тогда sin(30°)=0,5. Подставьте значения в формулу: S=(4×3²)÷0,5=72 см².
