Как найти углы треугольника по трем его сторонам
- Как найти углы треугольника при известных длинах сторон
- Шаг 1: Проверьте условие треугольника
- Шаг 2: Используйте теорему косинусов
- a²=b²+c²−2×b×c×cos(β)
- b²=a²+c²−2×a×c×cos(γ)
- c²=a²+b²−2×a×b×cos(α)
- Шаг 3: Выразите косинусы углов
- Из полученных равенств можно выразить косинусы углов:
- cos(β)=(b²+c²−a²)÷(2×b×c)
- cos(γ)=(a²+c²−b²)÷(2×a×c)
- cos(α)=(a²+b²−c²)÷(2×a×b)
- Шаг 4: Найдите градусную меру углов
- β=arccos(cos(β))
- γ=arccos(cos(γ))
- α=arccos(cos(α))
- Пример вычислений
- cos(α)=(3²+7²−6²)÷(2×3×7)=11/21 и α≈58,4°
- cos(β)=(7²+6²−3²)÷(2×7×6)=19/21 и β≈25,2°
- cos(γ)=(3²+6²−7²)÷(2×3×6)=-1/9 и γ≈96,4°
- Альтернативный метод через площадь треугольника
- Шаг 5: Найдите полупериметр треугольника
- По формуле p=(a+b+c)÷2 найдите полупериметр треугольника.
- Шаг 6: Вычислите площадь треугольника
- Шаг 7: Найдите синусы углов и градусную меру
- sin(α)=2×S÷(a×b)
- sin(β)=2×S÷(b×c)
- sin(γ)=2×S÷(a×c)
- β=arcsin(sin(β))
- γ=arcsin(sin(γ))
- α=arcsin(sin(α))
- Пример вычислений
- Полупериметр: p=(3+7+6)÷2=8
- Площадь: S=√(8×(8−3)×(8−7)×(8−6))=4√5
- sin(α)=2×4√5÷(3×7)=8√5/21 и α≈58,4°
- sin(β)=2×4√5÷(7×6)=4√5/21 и β≈25,2°
- sin(γ)=2×4√5÷(3×6)=4√5/9 и γ≈96,4°
- Полезный совет
Как найти углы треугольника при известных длинах сторон
Треугольник - это геометрическая фигура с тремя сторонами и тремя углами. Одной из задач математики является нахождение всех этих шести элементов треугольника. Если известны длины сторон треугольника, то при помощи тригонометрических функций можно вычислить углы между сторонами.
Шаг 1: Проверьте условие треугольника
Пусть задан треугольник со сторонами a, b и с. Сумма длин двух любых сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны. То есть a+b>c, b+c>a и a+c>b. При выполнении этого условия можно приступить к нахождению углов треугольника.
Шаг 2: Используйте теорему косинусов
Теорема косинусов позволяет вычислить углы треугольника при известных длинах его сторон. Составьте три равенства, используя теорему косинусов:
a²=b²+c²−2×b×c×cos(β)
b²=a²+c²−2×a×c×cos(γ)
c²=a²+b²−2×a×b×cos(α)
Шаг 3: Выразите косинусы углов
Из полученных равенств можно выразить косинусы углов:
cos(β)=(b²+c²−a²)÷(2×b×c)
cos(γ)=(a²+c²−b²)÷(2×a×c)
cos(α)=(a²+b²−c²)÷(2×a×b)
Шаг 4: Найдите градусную меру углов
Теперь, когда известны косинусы углов треугольника, можно найти сами углы. Используйте таблицы Брадиса или возьмите арккосинусы выражений, полученных на предыдущем шаге:
β=arccos(cos(β))
γ=arccos(cos(γ))
α=arccos(cos(α))
Пример вычислений
Допустим, задан треугольник со сторонами a=3, b=7, c=6. Вычислим значения углов треугольника:
cos(α)=(3²+7²−6²)÷(2×3×7)=11/21 и α≈58,4°
cos(β)=(7²+6²−3²)÷(2×7×6)=19/21 и β≈25,2°
cos(γ)=(3²+6²−7²)÷(2×3×6)=-1/9 и γ≈96,4°
Альтернативный метод через площадь треугольника
Кроме использования теоремы косинусов, углы треугольника можно найти также через площадь треугольника.
Шаг 5: Найдите полупериметр треугольника
По формуле p=(a+b+c)÷2 найдите полупериметр треугольника.
Шаг 6: Вычислите площадь треугольника
По формуле Герона вычислите площадь треугольника: S=√(p×(p−a)×(p−b)×(p−c)).
Также, площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон на синус угла между ними. Получается S=0,5×a×b×sin(α)=0,5×b×c×sin(β)=0,5×a×c×sin(γ).
Шаг 7: Найдите синусы углов и градусную меру
Из предыдущей формулы выразите синусы углов и подставьте полученное значение площади треугольника:
sin(α)=2×S÷(a×b)
sin(β)=2×S÷(b×c)
sin(γ)=2×S÷(a×c)
Затем, используя таблицы Брадиса или арксинусы, найдите градусную меру углов:
β=arcsin(sin(β))
γ=arcsin(sin(γ))
α=arcsin(sin(α))
Пример вычислений
Допустим, задан треугольник со сторонами a=3, b=7, c=6. Вычислим значения углов треугольника:
Полупериметр: p=(3+7+6)÷2=8
Площадь: S=√(8×(8−3)×(8−7)×(8−6))=4√5
sin(α)=2×4√5÷(3×7)=8√5/21 и α≈58,4°
sin(β)=2×4√5÷(7×6)=4√5/21 и β≈25,2°
sin(γ)=2×4√5÷(3×6)=4√5/9 и γ≈96,4°
Полезный совет
Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусов. Поэтому, если известны только два угла треугольника, третий угол можно найти путем вычитания из 180° суммы этих двух углов.
