Главная Войти О сайте

Как найти углы треугольника по трем его сторонам

Как найти углы треугольника по трем его сторонам

Содержание:
  1. Как найти углы треугольника при известных длинах сторон
  2. Шаг 1: Проверьте условие треугольника
  3. Шаг 2: Используйте теорему косинусов
  4. a²=b²+c²−2×b×c×cos(β)
  5. b²=a²+c²−2×a×c×cos(γ)
  6. c²=a²+b²−2×a×b×cos(α)
  7. Шаг 3: Выразите косинусы углов
  8. Из полученных равенств можно выразить косинусы углов:
  9. cos(β)=(b²+c²−a²)÷(2×b×c)
  10. cos(γ)=(a²+c²−b²)÷(2×a×c)
  11. cos(α)=(a²+b²−c²)÷(2×a×b)
  12. Шаг 4: Найдите градусную меру углов
  13. β=arccos(cos(β))
  14. γ=arccos(cos(γ))
  15. α=arccos(cos(α))
  16. Пример вычислений
  17. cos(α)=(3²+7²−6²)÷(2×3×7)=11/21 и α≈58,4°
  18. cos(β)=(7²+6²−3²)÷(2×7×6)=19/21 и β≈25,2°
  19. cos(γ)=(3²+6²−7²)÷(2×3×6)=-1/9 и γ≈96,4°
  20. Альтернативный метод через площадь треугольника
  21. Шаг 5: Найдите полупериметр треугольника
  22. По формуле p=(a+b+c)÷2 найдите полупериметр треугольника.
  23. Шаг 6: Вычислите площадь треугольника
  24. Шаг 7: Найдите синусы углов и градусную меру
  25. sin(α)=2×S÷(a×b)
  26. sin(β)=2×S÷(b×c)
  27. sin(γ)=2×S÷(a×c)
  28. β=arcsin(sin(β))
  29. γ=arcsin(sin(γ))
  30. α=arcsin(sin(α))
  31. Пример вычислений
  32. Полупериметр: p=(3+7+6)÷2=8
  33. Площадь: S=√(8×(8−3)×(8−7)×(8−6))=4√5
  34. sin(α)=2×4√5÷(3×7)=8√5/21 и α≈58,4°
  35. sin(β)=2×4√5÷(7×6)=4√5/21 и β≈25,2°
  36. sin(γ)=2×4√5÷(3×6)=4√5/9 и γ≈96,4°
  37. Полезный совет

Как найти углы треугольника при известных длинах сторон

Треугольник - это геометрическая фигура с тремя сторонами и тремя углами. Одной из задач математики является нахождение всех этих шести элементов треугольника. Если известны длины сторон треугольника, то при помощи тригонометрических функций можно вычислить углы между сторонами.

Шаг 1: Проверьте условие треугольника

Пусть задан треугольник со сторонами a, b и с. Сумма длин двух любых сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны. То есть a+b>c, b+c>a и a+c>b. При выполнении этого условия можно приступить к нахождению углов треугольника.

Шаг 2: Используйте теорему косинусов

Теорема косинусов позволяет вычислить углы треугольника при известных длинах его сторон. Составьте три равенства, используя теорему косинусов:

a²=b²+c²−2×b×c×cos(β)

b²=a²+c²−2×a×c×cos(γ)

c²=a²+b²−2×a×b×cos(α)

Шаг 3: Выразите косинусы углов

Из полученных равенств можно выразить косинусы углов:

cos(β)=(b²+c²−a²)÷(2×b×c)

cos(γ)=(a²+c²−b²)÷(2×a×c)

cos(α)=(a²+b²−c²)÷(2×a×b)

Шаг 4: Найдите градусную меру углов

Теперь, когда известны косинусы углов треугольника, можно найти сами углы. Используйте таблицы Брадиса или возьмите арккосинусы выражений, полученных на предыдущем шаге:

β=arccos(cos(β))

γ=arccos(cos(γ))

α=arccos(cos(α))

Пример вычислений

Допустим, задан треугольник со сторонами a=3, b=7, c=6. Вычислим значения углов треугольника:

cos(α)=(3²+7²−6²)÷(2×3×7)=11/21 и α≈58,4°

cos(β)=(7²+6²−3²)÷(2×7×6)=19/21 и β≈25,2°

cos(γ)=(3²+6²−7²)÷(2×3×6)=-1/9 и γ≈96,4°

Альтернативный метод через площадь треугольника

Кроме использования теоремы косинусов, углы треугольника можно найти также через площадь треугольника.

Шаг 5: Найдите полупериметр треугольника

По формуле p=(a+b+c)÷2 найдите полупериметр треугольника.

Шаг 6: Вычислите площадь треугольника

По формуле Герона вычислите площадь треугольника: S=√(p×(p−a)×(p−b)×(p−c)).

Также, площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон на синус угла между ними. Получается S=0,5×a×b×sin(α)=0,5×b×c×sin(β)=0,5×a×c×sin(γ).

Шаг 7: Найдите синусы углов и градусную меру

Из предыдущей формулы выразите синусы углов и подставьте полученное значение площади треугольника:

sin(α)=2×S÷(a×b)

sin(β)=2×S÷(b×c)

sin(γ)=2×S÷(a×c)

Затем, используя таблицы Брадиса или арксинусы, найдите градусную меру углов:

β=arcsin(sin(β))

γ=arcsin(sin(γ))

α=arcsin(sin(α))

Пример вычислений

Допустим, задан треугольник со сторонами a=3, b=7, c=6. Вычислим значения углов треугольника:

Полупериметр: p=(3+7+6)÷2=8

Площадь: S=√(8×(8−3)×(8−7)×(8−6))=4√5

sin(α)=2×4√5÷(3×7)=8√5/21 и α≈58,4°

sin(β)=2×4√5÷(7×6)=4√5/21 и β≈25,2°

sin(γ)=2×4√5÷(3×6)=4√5/9 и γ≈96,4°

Полезный совет

Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусов. Поэтому, если известны только два угла треугольника, третий угол можно найти путем вычитания из 180° суммы этих двух углов.


CompleteRepair.Ru