Главная Войти О сайте

Как найти угол между диагоналями параллелограмма

Прежде чем искать решение поставленной задачи, следует выбрать наиболее подходящий метод ее решения.Геометрический метод требует тдополнительных построений и их обоснования, поэтому в данном случае наиболее удобным представляется использование векторной методики. Для этого используются направленные отрезки - векторы.Как найти угол между диагоналями параллелограммаВам понадобится

Пусть параллелограмм задан векторами двух его сторон (остальные две попарно равны) в соответствии срис. 1. Вообще-то равных векторов на плоскости сколь угодно много. Для этого требуется равенство их длин (точнее модулей – |a|) и направления, которое задается наклоном к какой-либо оси (в декартовыхкоординатах это ось 0Х).Поэтому для удобства взадачах подобного типа векторы, как правило, задают их радиус-векторами r=а, у которых начало всегда лежит в начале координат.

Для нахождения угла между сторонами параллелограмма понадобится вычислить геометрическую сумму и разность векторов, а также их скалярное произведение (a,b). По правилу параллелограмма геометрическая сумма векторов a и b равна некоторому вектору с=а+b, который построен и лежит на диагонали параллелограмма AD. Разность a и b – вектор d=b-a, построенный на второй диагонали BD. Если векторы заданы координатами, а угол между ними составляет ф,тогда их скалярное произведение – это число, равное произведению модулей векторов и cosф (см. рис1): (a, b) = |a||b|cos ф

В декартовых координатах если а={x1, y1} иb={x2, y2}, то (a, b) = x1y2 +x2y1.При этом скалярный квадрат вектора (а,а)=|a|^2=x1^2 +x2^2.Для вектора b – аналогично. Тогда: |a||b|cos ф = x1y2 +x2y1. Следовательноcosф=(x1y2 +x2y1)/(|a||b|).Таким образом алгоритм решения задачи состоит в следующем:1. Нахождение координат векторов диагоналей параллелограмма как векторов суммы и разности векторов его сторон с=а+b и d=b-a. При этом соответствующие координаты a и b просто складываются или вычитаются. c= a+ b ={x3, y3}= { x1+x2, y1+y2},d= b-a ={x4, y4}={ x2 –x1, y2-y1}.2. Нахождение косинуса угла между векторами диагоналей (назовем его фД) по приведенному общемуправилу cosфд=(x3y3 +x4y4)/(|c||d|)

Пример. Найти угол между диагоналями параллелограмма, заданного векторами своих сторон a={1, 1} и b ={1, 4}. Решение. Согласно приведенному алгоритму вам необходимо найти векторы диагоналей c={1+1, 1+4}={2, 5}иd={1-1, 4-1}={0, 3}. Теперь вычислите cosфд =(0+15)/(sqrt(4+25)sqrt9)= 15/3sqrt29=0,92.Ответ:фд= arcos(0,92).


CompleteRepair.Ru