Главная Войти О сайте

Как вычислить число Е

Если в школе ученик постоянно сталкивается с числом П и его важностью, то студенты гораздо чаще используют некоторое e, равное 2.71. Число при этом не берется из ниоткуда – большинство преподавателей честно рассчитывают его прямо во время лекции, не используя при этом даже калькулятора.Как вычислить число Е

Используйте для расчета второй замечательный предел. Он заключается в том, что e=(1+1/n)^n, где n - целое число, возрастающее до бесконечности. Суть доказательства сводится к тому, что правую часть замечательного предела нужно разложить через бином Ньютона, часто используемую в комбинаторике формулу.

Бином Ньютона позволяет выразить любую (a+b)^n (сумму двух чисел в степени n), как ряд (n!*a^(n-k)*b^k)/(k!*(n-k)!). Для большей наглядности перепишите данную формулу на бумагу.

Проведите указанное выше преобразование для «замечательного предела». Получите, что e=(1+1/n)^n= 1 + n/n + (n(n-1))/(2!*n^2) + n(n-1)(n-2)/(3!*n3) + … + (n-1)(n-2)2*1/(n!*n^n).

Данный ряд можно преобразовать, вынеся, для наглядности, факториал в знаменателе за скобку и почленно поделив числитель каждого числа на знаменатель. Получим ряд 1+1+(1/2!)*(1-1/n)+(1/3!)*(1-1/n)*(1-2/n)+ … + (1/n!)*(1-1/n)*…*(1-n-1/n). Перепишите данный ряд на бумагу, дабы убедиться, что он имеет достаточно простую конструкцию. При бесконечном увеличении числа членов (т.е. увеличении n) разность в скобках будет уменьшаться, однако будет увеличиваться стоящий перед скобкой факториал (1/1000!). Нетрудно доказать, что данный ряд будет сходиться к некоторой величине, равной 2,71. Это видно и из первых членов: 1+1=2; 2+(1/2)*(1-1/1000)=2,5; 2,5+(1/3!)*(1-1/1000)*(1-2/1000)=2,66.

Гораздо проще разложение при помощи обобщения ньютоновского бинома – формулы Тейлора. Минус данного способа в том, что расчет ведется через экспоненциальную функцию e^x, т.е. для расчета е математик оперирует числом е.

Ряд Тейлора имеет вид: f(x)=f(a)+(x-a)*f’(a)/1!+(x-a)*(f^(n))(a)/n!, где х – некоторая точка, вокруг которой ведется разложение, а f^(n) –производная f(x) n-ого порядка.

После разложения экспоненты в ряд она примет вид: e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+…+x^n/n!.

Производная функции e^x=e^x, поэтому, если раскладывать функцию в ряд Тейлора в окрестности нуля, производная любого порядка обратится в единицу (подставим 0 вместо х). Получим: 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … + 1/n!. По первым нескольким членам можно вычислить приблизительное значение e: 1+0.5+0.16+0.041= 2.701.


CompleteRepair.Ru