Эврика!

Регистрация

Как вычислить угол между векторами

Для решения многих задач, как прикладных, так и теоретических, в физике и линейной алгебре необходимо вычислять угол между векторами. Эта простая на первый взгляд задача способна доставить множество трудностей, если вы четко не усвоите сущность скалярного произведения и какая величина появляется в результате этого произведения.Как вычислить угол между векторами

Угол между векторами в векторном линейном пространстве – минимальный угол при повороте, на который достигается сонаправленность векторов. Осуществляется поворот одного из векторов вокруг его начальной точки. Из определения становится очевидно, что значение угла не может превышать 180 градусов (cм. рисунок к шагу).

При этом совершенно справедливо предполагается, что в линейном пространстве при осуществлении параллельного переноса векторов угол между ними не меняется. Поэтому для аналитического расчета угла пространственная ориентация векторов не имеет значения.

При нахождении угла используйте определение скалярного произведения для векторов. Данная операция обозначается следующим образом (см. рисунок к шагу).

Результат скалярного произведения – число, иначе скаляр. Запомните (это важно знать), чтобы не допустить в дальнейших расчетах ошибок. Формула скалярного произведения, расположенных на плоскости либо в пространстве векторов, имеет вид (см. рисунок к шагу).

Это выражение справедливо только для ненулевых векторов. Отсюда выразите угол между векторами (см. рисунок к шагу).

Если система координат, в которой располагаются векторы, является декартовой, то выражение для определения угла можно переписать в следующем виде (см. рисунок к шагу).

Если вектора располагаются в пространстве, то расчет производите аналогичным способом. Единственным отличием будет появление третьего слагаемого в делимом - это слагаемое отвечает за аппликату, т.е. третью компоненту вектора. Соответственно, при вычислении модуля векторов компоненту z также необходимо учесть, тогда для векторов, расположенных в пространстве, последнее выражение преобразуется следующим образом (см. рисунок 6 к шагу).

© CompleteRepair.Ru