Эврика!

Регистрация

Как вывести момент инерции

Основной характеристикой момента инерции является распределение масс в теле. Это скалярная величина, расчет которой зависит от величин элементарных масс и их расстояний до базового множества.Как вывести момент инерции

Понятие момента инерции связано со множеством объектов, способных вращаться вокруг оси. Он показывает, насколько эти объекты инертны во время вращения. Эта величина аналогична массе тела, определяющей его инертность при поступательном движении.

Момент инерции зависит не только от массы объекта, но и его положения относительно оси вращения. Он равен сумме момента инерции этого тела относительно, проходящей через центр масс, и произведения массы (площади сечения) на квадрат расстояния между неподвижной и действительной осями:J = J0 + S·d².

При выводе формул используются формулы интегрального исчисления, поскольку эта величина является суммой последовательности элементом, иными словами, суммой числового ряда:J0 = ∫y²dF, где dF – площадь сечения элемента.

Попробуем вывести момент инерции для простейшей фигуры, например, вертикального прямоугольника относительно оси ординат, проходящей через центр масс.Для этого мысленно разобьем его на элементарные полоски шириной dy общей продолжительностью, равной длине фигуры a. Тогда:J0 = ∫y²bdy на интервале [-a/2; a/2], b – ширина прямоугольника.

Теперь пусть ось вращения проходит не через центр прямоугольника, а на расстоянии с от нее и параллельно ей. Тогда момент инерции будет равен сумме начального момента, найденного на первом шаге, и произведению массы (площади сечения) на c²:J = J0 + S·c².

Поскольку S = ∫bdy:J = ∫y²bdy + ∫c²bdy = ∫(y² + c²)bdy.

Рассчитаем момент инерции для трехмерной фигуры, например, шара. В этом случае элементами выступают плоские диски толщиной dh. Произведем разбиение перпендикулярно оси вращения. Подсчитаем радиус каждого такого диска:r = √(R² – h²).

Масса такого диска будет равна p·π·r²dh, как произведение объема (dV = π·r²dh) на плотность. Тогда момент инерции выглядит следующим образом:dJ = r²dm = π·p·(R^4 – 2*R²*h² +h^4)dh, откуда J = 2·∫dJ [0; R] = 2/5·m·R².

© CompleteRepair.Ru