Как найти минимальное значение функции
- Необходимость нахождения минимального значения функции
- Нахождение стационарных точек
- Определение минимального значения функции
- Процесс нахождения минимального значения функции
Необходимость нахождения минимального значения функции
Необходимость найти минимальное значение математической функции представляет собой практический интерес в решении прикладных задач, например, в экономике. Большое значение для предпринимательской деятельности имеет минимизация убытков.
Нахождение стационарных точек
Для поиска минимального значения функции необходимо определить стационарные точки. Стационарной точкой называется значение аргумента, при котором производная функции обращается в ноль. Согласно теореме Ферма, если дифференцируемая функция принимает экстремальное значение в некоторой точке (в данном случае – локальный минимум), то эта точка является стационарной.
Определение минимального значения функции
Минимальное значение функции часто принимает именно в стационарной точке, однако его можно определить не всегда. Более того, не всегда можно с точностью сказать, чему равен минимум функции или она принимает бесконечно малое значение. Тогда, как правило, находят предел, к которому она стремится при убывании.
Последовательность действий для определения минимального значения функции
Для определения минимального значения функции необходимо выполнить последовательность действий, состоящую из четырех этапов: нахождение области определения функции, получение стационарных точек, анализ значений функции в этих точках и на концах интервала, выявление минимума.
Процесс нахождения минимального значения функции
Пусть задана некоторая функция y(x) на интервале с границами в точках А и В. Сначала необходимо найти область определения функции и проверить, является ли интервал ее подмножеством.
Затем необходимо вычислить производную функции, приравнять полученное выражение нулю и найти корни уравнения. Проверяем, попадают ли эти стационарные точки в интервал. Если нет, то на следующем этапе они не учитываются.
Далее рассматриваем интервал на предмет типа границ: открытые, закрытые, комбинированные или бесконечные. От этого зависит, как будем искать минимальное значение. Например, если имеется закрытый интервал [А, В], подставляем его границы и стационарную точку в функцию и рассчитываем значения. Выбираем минимальный результат.
Если имеются открытые или бесконечные интервалы, задача усложняется. Здесь придется искать односторонние пределы, которые не всегда дают однозначный результат. Например, для интервала [А, В) с одной закрытой и одной выколотой границей, необходимо найти функцию при х = А и односторонний предел lim y при х → В-0.
