Как найти наименьшее значение функции на отрезке
- Найти наименьшее значение функции на отрезке
- Шаг 1: Найти критические точки
- Шаг 2: Вычислить значения функции в критических точках
- Шаг 3: Вычислить значения функции на концах отрезка
- Шаг 4: Учесть особый случай
- Пример
- Полезный совет
Найти наименьшее значение функции на отрезке
Многие задачи в математике, экономике, физике и других науках сводятся к нахождению наименьшего значения функции на отрезке. Доказанная теорема Вейерштрасса утверждает, что непрерывная функция на отрезке принимает на нем наибольшее и наименьшее значение. Таким образом, этот вопрос всегда имеет решение.
Шаг 1: Найти критические точки
Для начала, нам необходимо найти критические точки функции ƒ(x), которые попадают в исследуемый интервал (a; b). Для этого вычислим производную функции ƒ(x), обозначенную как ƒ'(x). Найдем область определения этой производной и решим уравнение ƒ'(x)=0 в интервале (a; b). Пусть найденные точки будут обозначены как x1, x2, x3, ..., xn.
Шаг 2: Вычислить значения функции в критических точках
Далее, мы вычисляем значения функции ƒ(x) во всех ее критических точках, которые принадлежат интервалу (a; b). Из всех найденных значений выбираем наименьшее значение, пусть это будет значение функции в точке xk. То есть, ƒ(xk)≤ƒ(x1), ƒ(xk)≤ƒ(x2), ƒ(xk)≤ƒ(x3), ..., ƒ(xk)≤ƒ(xn).
Шаг 3: Вычислить значения функции на концах отрезка
Затем, мы подсчитываем значение функции ƒ(x) на концах отрезка [a; b]. Вычисляем ƒ(a) и ƒ(b) и сравниваем их с наименьшим значением в критических точках ƒ(xk). Из этих трех значений выбираем самое наименьшее значение, которое и будет являться наименьшим значением функции на отрезке [a; b].
Шаг 4: Учесть особый случай
Важно отметить, что если функция не имеет критических точек на промежутке (a; b), значит она возрастает или убывает в этом интервале и достигает минимального и максимального значений на его концах [a; b].
Пример
Давайте рассмотрим пример. Пусть задача состоит в нахождении минимального значения функции ƒ(x)=2×x³−6×x²+1 на отрезке [-1; 1]. Вычислим производную функции ƒ'(x)=(2×x³−6×x²+1)’=(2×x³)’−(6×x²)’=6×x²−12×x=6×x×(x−2). Производная ƒ'(x) определена на всей числовой прямой.
Решим уравнение ƒ'(x)=0. В данном случае это равносильно системе уравнений 6×x=0 и x−2=0. Решениями будут две точки x=0 и x=2. Однако x=2 не принадлежит интервалу (-1; 1), поэтому в этом промежутке у нас будет только одна критическая точка: x=0.
Теперь найдем значение функции ƒ(x) в критической точке и на концах отрезка. ƒ(0)=2×0³−6×0²+1=1, ƒ(-1)=2×(-1)³−6×(-1)²+1=-7, ƒ(1)=2×1³−6×1²+1=-3. Поскольку -7<1 и -7<-3, минимальное значение функции ƒ(x) будет принято в точке x=-1 и будет равно ƒ(-1)=-7.
Полезный совет
Если условие задачи требует найти минимальное значение не на отрезке, а на полуоткрытом или открытом интервале (a; b), то на концах интервала необходимо вычислить односторонний предел функции при значении аргумента, стремящегося к a+0 и b-0.
